Depende. Para se ter um controle a esse nível, é necessário um servidor de controle de banda, firewall e etc. Onde o administrador controla os acessos e o que pode ser acessado.
Acredito que em rede comuns, quando temos apenas um modem e um router, esse controle se torna inexistente.
Quando você fala, modo anônimo no celular, queria dizer Janela anônima do navegador?
Se sim, este modo apenas não registra histórico para o próprio navegador, não teria nada haver com registro de rede.