Os roteadores tem uma função que permite gravar o histórico de tudo que é acessado, mas não tenho certeza se grava no caso da VPN do Avast, já pesquisei e não achei uma resposta definitiva. Sugiro que acesse a pagina online do roteador e veja se há alguma opção como Log's router ou webbrowsing ou algo semelhante e veja se está ativa. Poderá inclusive fazer os testes, ativando essa opção e veja se é gravado o histórico das suas páginas ou não e depois desative novamente para que seu vizinho não fique preocupado.